VorlesungSb/JuristischeMethodenlehre/AussagenLogik - JuraWiki.de (2024)

1. Grundlegendes

1.1. Aussagen

Jede Aussage (p, q, r usw.) ist entweder wahr (w) odr falsch (f).

Durch die nachfolgenden Junktoren kann man aus mehreren Einzelaussagen (z. B. "Der Ball ist rot.", "Der Ball ist aus Kunststoff.") eine neue Aussage zusammensetzen (z. B. "Der Ball ist rot und aus Kunststoff."). Ob diese zusammengesetzte Aussage wahr ist, hängt von den Wahrheitswerten der Einzelaussagen ab.

1.2. Negation

Bei der Negation werden die Wahrheitswerte einfach umgedreht: Die Negation (also das Gegenteil) von "Der Hund lebt" ist "Der Hund ist tot".

1.2.1. Beispiel

1.3. Konjunktion

Bei der Konjunktion ist die zusammengesetzte Aussage (p und q) dann wahr, wenn die einzelnen Aussagen (sowohl p als auch q) wahr sind.

1.3.1. Beispiel

1.4. Disjunktion

Bei der Disjunktion muss mindestens eine der einzelnen Aussagen (entweder p oder q oder beide) wahr sein, damit die zusammengesetzte Aussage (p oder q - einschließendes ODER) wahr ist.

1.4.1. Beispiel

1.5. Implikation

p ist hinreichende Bedingung für q. Also ist q immer dann wahr, wenn p wahr ist. (Wenn dagegen p falsch ist, kann q trotzdem wahr sein.)

1.5.1. Beispiel

1.6. Replikation

p ist notwendige Bedingung für q. Also kann q nur dann wahr sein, wenn auch p wahr ist. (Allerdings muss q nicht wahr sein, wenn p wahr ist.)

1.6.1. Beispiel

1.7. Äquivalenz

p ist sowohl hinreichend als auch notwendig für q.

1.7.1. Beispiel

1.8. Weitere Junktoren

Siehe Übersicht (pdf-Format).

2. Allgemeingültigkeit anhand von Wahrheitstabellen prüfen

Die folgenden drei Beispiele sind inhaltlich der Abschlussklausur "Logik und Informatik für Juristen" des Wintersemesters 2002/03 (Prof. Herberger) entnommen.

2.1. Beispiel 1

Du schreibst die Aussage auf und spielst alle Variationen durch. Bei zwei Variablen (=> 2² = 4 Möglichkeiten) bedeutet das also:

1. p wahr, q wahr

2. p wahr, q falsch

3. p falsch, q wahr

4. p falsch, q falsch

Diese Werte setzt Du in die in die Wahrheitstafel ein:

• ¬(pvq)<=>¬p^¬q
  -----------------------
  ww
  wf
  fw
  ff (========Spalte:======)
  (12)

Aus dem Wert von p (Spalte 1) und dem Wert von q (Spalte 2) kannst Du den Wert von ¬p (Spalte 3) und den Wert von ¬q (Spalte 4) ermitteln - einfach umkehren:

• ¬(pvq)<=>¬p^¬q
  -----------------------
  wwff
  wffw
  fwwf
  ffww (========Spalte:======)
  (1234)

Nun ermittelst Du in der Spalte 5 den Wert von p v q aus den Spalten 1 und 2 (Disjunktion):

• ¬(pvq)<=>¬p^¬q
  -----------------------
  wwwff
  wwffw
  fwwwf
  fffww (========Spalte:======)
  (15234)

Da vor p v q ein Negationszeichen steht, musst Du den Wert aus Spalte 5 umkehren und in Spalte 6 eintragen:

• ¬(pvq)<=>¬p^¬q
  -----------------------
  fwwwff
  fwwffw
  ffwwwf
  wfffww (========Spalte:======)
  (615234)

Jetzt ermitteln wir aus den Spalten 3 und 4 den Wert für ¬p ^ ¬q (Konjunktion):

• ¬(pvq)<=>¬p^¬q
  -----------------------
  fwwwfff
  fwwfffw
  ffwwwff
  wfffwww (========Spalte:======)
  (6152374)

Und jetzt können wir uns an die gesamte Behauptung wagen, nämlich

• Spalte 6 (¬ (p v q)) <=> Spalte 7 (¬p und ¬q)

Also müssen wir die Äquivalenz-Regeln anwendel

• ¬(pvq)<=>¬p^¬q
  -----------------------
  fwwwwfff
  fwwfwffw
  ffwwwwff
  wfffwwww (========Spalte:======)
  (61528374)

In Spalte 8 steht "wwww". Das bedeutet, dass die Behauptung ¬ (p v q) <=> ¬p ^ ¬q gültig ist, wenn ...

• .. p wahr ist und q wahr ist,

• .. p wahr ist und q falsch ist,

• .. p falsch ist und q wahr ist,

• .. p falsch ist und q falsch ist.

Egal, welche Werte man für die Variablen einsetzt, die Aussage ¬ (p v q) <=> ¬p ^ ¬q ist also stets wahr, daher ist sie allgemeingültig. (Würde bei mindestens einer Variation ein "f" herauskommen, wäre die Aussage nicht allgemeingültig, z.B. bei "wwfw" oder "ffff".)

2.2. Beispiel 2

Bei den Aufgaben mit Ober-, Unter- und Schlusssatz musst Du erst einmal eine Formel entwickeln.

• Obersatz:(p^q)->r
  Untersatz:¬p
  _______________
  Schluss:¬r
  

Wenn sowohl der Obersatz als auch der Untersatz wahr ist (= Konjunktion), dann ist auch der Schlusssatz wahr (= Implikation). Die Formel lautet also:

• [[(p^q)->r]^¬p]->¬r

Da es hier drei Variablen gibt, ist die Tabelle auch etwas länger (2³ = 8 Möglichkeiten):

• [[(p^q)->r]^¬p]->¬r
  -----------------------------
  www
  wwf
  wfw
  wff
  fww
  fwf
  ffw
  fff (============Spalte:=========)
  (162738495)

Das Auflösen geht entsprechend:

1. Aus Spalte 1 (p) durch Umkehrung die Spalte 4 (¬p) ermitteln.

2. Aus Spalte 3 (r) durch Umkehrung die Spalte 5 (¬r) ermitteln.

3. Aus Spalte 1 (p) und Spalte 2 (q) durch Konjunktion die Spalte 6 (p und q) ermitteln.

4. Aus Spalte 6 (p und q) und Spalte 3 (r) durch Implikation die Spalte 7 ((p und q) -> r) ermitteln.

5. Aus Spalte 7 ((p und q) -> r) und Spalte 4 (¬p) durch Konjunktion die Spalte 8 ([(p und q) -> r] und ¬p) ermitteln.

6. Aus Spalte 8 ([(p und q) -> r] und ¬p) und Spalte 5 (¬r) durch Implikation die Spalte 9 ([[(p und q) -> r] und ¬p] -> ¬r) ermitteln.

Als Wahrheitstabelle:

• [[(p^q)->r]^¬p]->¬r
  -----------------------------
  wwwwwffwf
  wwwffffww
  wffwwffwf
  wffwfffww
  ffwwwwwff
  ffwwfwwww
  fffwwwwff
  fffwfwwww (============Spalte:=========)
  (162738495)

Spalte 9 ergibt "wwwwfwfw". Für die beiden Fälle

• - p falsch, q wahr, r wahr - p falsch, q falsch, r wahr

ist die Aussage [[(p und q) -> r] und ¬p] -> ¬r also falsch. Daher ist sie nicht allgemeingültig.

2.3. Beispiel 3

Beispiel 3 geht wie Beispiel 2, nur dass in Spalte 7 nicht Implikation sondern Replikation angewendet werden muss. Man erhält als Wahrheitstabelle:

• [[(p^q)<-r]^¬p]->¬r
  -----------------------------
  wwwwwffwf
  wwwwfffww
  wfffwffwf
  wffwfffww
  ffwfwfwwf
  ffwwfwwww
  ffffwfwwf
  fffwfwwww (============Spalte:=========)
  (162738495)

Es kommt in Spalte 9 "wwwwwwww" heraus. Man kann also für p, q und r einsetzen, was man will, die Aussage [[(p und q) <- r] und ¬p] -> ¬r ist immer wahr, daher ist sie allgemeingültig.

3. Literatur

• ''Wissenschaftstheorie für Juristen. Logik - Semiotik - Erfahrungswissenschaften'' (M. Herberger, D. Simon), Frankfurt a.M. (Metzner) 1980

  • Das Buch steht im pdf-Format (--> Adobe Reader) und im cpc-Format (--> CPC View ax (Internet Explorer ) bzw. CPC Lite pi (Netscape, Opera, Mozilla)) zur Verfügung.

• Junktoren-Übersicht

• Wikipedia: "Aussagenlogik"

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